Mathematik: Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Polynomfunktionen 1. Grades. In diesem Artikel werden diese genauer beschrieben.

Definition einer linearen Funktion

Graphische Sicht

Eine lineare Funktion ist eine Zuordnung von unendlich viele x-Werten, auch Abszissen genannt, zu verschiedenen y-Werten, auch Ordinaten genannt. Diese unendlichen Punkte sind wie eine Gerade geformt.

Mathematische Sicht

Die Zuordnung einer linearen Funktion kann man mathematisch beschreiben. Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist:
y = mx + b
Hier die Bedeutung der Variablen:
x, y: Die Abszissen und Ordinaten
m: Die Steigung der Geraden
b: Die y-Koordinate des Schnittpunktes der linearen Funktion mit der y-Achse, somit auch y-Achsenabschnitt genannt

Zeichnen des Graphs einer linearen Funktion

Sei die Steigung m ein Bruch mit Zähler p und Nenner q (wenn m eine natürliche Zahl ist, dann ist q = 1)mit p und q sind natürliche Zahlen. Um eine Gerade zu zeichnen, braucht man zwei Punkte. Diese werden mit m und b bestimmt:

1. Zuerst legt man den Punkt (0|b) als ersten Punkt fest.
2. Danach geht man q Einheiten in x-Richtung und p Einheiten in y-Richtung. Diesen Punkt lege man als zweiten Punkt fest.
3. Zuletzt verbinde man diese beiden Punkte.

Lineare Funktionen, die parallel zu den Koordinatenachsen sind

Verschobene x-Achsen

Bei solchen linearen Funktionen gilt m = 0. Bsp.: y = 3 (y = 0x + 3)

Verschobene y-Achsen

ACHTUNG! Solche Geraden sind keine Funktionen, da zu einem x-Wert unendlich y-Werte zugeordnet werden, was zum Widerspruch der Definition einer linearen Funktion führt!
Die Funktionsgleichung einer solchen Geraden lautet z. B. x = 5.

Nullstellen einer linearen Funktion

Definition einer Nullstelle

Eine Nullstelle ist der Schnittpunkt einer Funktion y = mx + b mit der x-Achse y = 0.

Nullstellen einer Funktion y = mx + b

Nach Definition einer Nullstelle ist die y-Koordinate 0. Also setzt man in y = mx + b 0 für y ein, sodass sich die x-Koordinate durch Äquivalenzumformungen herausfinden lässt.

Lineare Funktionen in der 2-Punkte-Form

Eindeutigkeit

Man kann lineare Funktionen mithilfe von zwei Punkten darstellen. Diese dadurch beschriebene Gerade ist eindeutig, da man einen beliebigen Punkt als Startpunkt hat und den zweiten als Richtungspunkt bestimmt.

Funktionsgleichung bestimmen

Um die Gleichung zu bestimmen, braucht man m und b zu berechnen.

m berechnen

Die Steigung ist die y-Differenz durch die x-Differenz. Die beiden Differenzen sind in mathematischer Form, wenn die Punkte A = (x₁|y₁) und B = (x₂|y₂) heißen, x2 - x1 und y2 - y1. Also ist die endgültige Gleichung für m mit den Koordinaten der Punkte die folgende: (y2 - y1)/(x2 - x1).

b berechnen

b berechnet man mithilfe von Äquivalenzumformungen. Dafür setzt man in die allgemeine Gleichung für lineare Funktionen die Koordinaten von einem der zwei gegebenen Punkte und die herausgefundene Steigung ein.
Zum Beispiel, wenn ich die Punkte A(3|1) und B(7|3) habe und somit m = 1/2 gilt, ist b somit

     y = mx + b       |A und m = 1/2 eingesetzt
     1 = 1/2 * 3 + b  |T
     1 = 3/2 + b      |-1,5
  -0,5 = b

Somit ist in diesem Fall die Gleichung der linearen Funktion diese: y = 0,5x - 0,5.