Geometrie: Winkel

Angenommen, 2 Geraden kreuzen sich. Wenn man diese Geradenkreuzung so dreht, dass eine der Gleichungen der x- bzw. der y-Achse entspricht, dann merkt man eine Steigung der anderen Geraden. Diese Steigung ist ein Winkel.

Arten von Winkeln

Namen

Winkelarten liegen in Bereichen oder in Zuständen. Mit einem Bereich ist gemeint, dass ein bestimmter Winkel zwischen einem Wert und einem anderen Wert liegt, Zustände sind exakte Werte.
Somit sind, wenn a der Winkel ist:
0° < a < 90°: spitzer Winkel
a = 90°: rechter Winkel
90° < a < 180°: stumpfer Winkel
a = 180°: gestreckter Winkel
180° < a < 360°: überstumpfer Winkel
a = 360°: voller Winkel

Vielleicht weitere?

Wenn es weitere geben würde, müsste es Winkel unter 0° oder über 360° geben.
Winkel unter 0° machen keinen Sinn, weil sie ja weniger als nicht da sind. Man könnte negative Winkel höchstens in einer durchsichtigen Farbe signalisieren, doch dann wären sie ja doch positiv. Ob es negative Winkel wirklich gibt, ist somit eine Frage der Perspektive.
Dass es "übervolle" Winkel gibt, ist wahrscheinlicher. In Winkelsummen (siehe Abschnitt 3) werden übervolle Winkel verwendet als imaginär. Dennoch gibt es sie nicht und um sie darzustellen gibt es auch mehrere Möglichkeiten, doch jede Darstellung hat einen vollen Winkel im Hintergrund und eigentlich ist alles ein voller Winkel mit ein bisschen mehr Struktur als 360°. Aber wenn man Winkel, die somit zwischen 0° und 360° liegen müssen, als Drehungen betrachtet, ist die Welt der natürlichen Zahlen unendlich. Man dreht sich entweder nach links oder nach rechts, auch wenn man sich auch nur auf eine Richtung spezialisieren kann. Grund dafür ist, dass eine 360° nach links-Drehung gleich einer 360° nach rechts-Drehung ist und somit eine 133° nach links-Drehung einer (360-133)° oder einer 227° nach rechts-Drehung entspricht. Die Unendlichkeit merkt man erst, wenn man sich um 543° dreht. Das entspricht einer 183°-Drehung. Dafür gibt es aber keine Bereiche oder Zustände, somit auch keine weiteren Winkelarten, trotzdem weiß man, dass, wie in der Erklärung des Winkels am Anfang des Textes, Winkel als Drehungen verstanden werden können.

Schreibweise der Winkel und Pi

Die Zahl Pi

Die Zahl Pi ist eine irrationale (unendlich viele Nachkommastellen, nicht periodisch), transzendente (diese Zahl ist keine Lösung einer Gleichung) und vermutlich universelle (Zahl, die alle natürlichen Ziffernfolgen enthält; Grundlage: Irrationalität) Zahl. Pi braucht man, um runde Formen oder Körper zu berechnen und liegt bei 3.1415926. Ein ganzer Kreis hat den Flächeninhalt von Pi*Radius^2 und einen Umfang von 2*Pi*Radius. Ist der Radius 1, ist der Umfang 2*Pi oder auch Tau. Tau ist ungefähr 6.283. Die Namen sind griechische Buchstaben.

Pi und eine neue Einheit

Das Bekannteste von allen Einheiten ist Grad (°). Doch es gibt aber noch die unbeliebte Variante Radiant (rad), dessen Art Bogenmaß heißt. Die Umrechnungsformel: 2 rad = 360° (voller Winkel). Wie oben beschrieben gibt es auch einen vollen Kreis, der 2*Pi groß ist, wenn der Radius 1 ist. Und genau das ist der Zusammenhang: Pi = 1 rad.

Noch eine Einheit

Die letzte Einheit, die es gibt, ist Gon. Gon kommt vom griechischem "gōnía", was Winkel oder Ecke heißt. Als Einheitszeichen wird "gon" verwendet. Gon wird, wie Radiant, nicht sehr gebraucht, aber es gibt es immer noch und es wird auch noch benutzt. Pi hat damit nicht zu tun, doch man orientiert sich auch am Vollwinkel. 400 gon sind ein Vollwinkel (360° oder 2 rad)

Geradenkreuzungen

Eine Gerade ist langweilig. Das, was man dort finden kann, sind gestreckte Winkel. Zwei Geraden, die sich kreuzen, enthalten an der Kreuzung spitze und stumpfe Winkel. Viel vielfältiger!

Winkelsätze: 2 Geraden

Wenn man sich eine Geradenkreuzung mal anschaut, bemerkt man Strukturen. Diese Strukturen sind in Winkelsätzen festgehalten.
Der Erste, der Nebenwinkelsatz, besagt, dass in einer Geradenkreuzung zwei nebeneinander liegende Winkel, die kurz Nebenwinkel genannt werden, 180° ergeben. Der Zustand, wenn 2 Winkel 180° ergeben, nennt man ergänzende Winkel.
Der Scheitelwinkelsatz besagt, dass in einer Geradenkreuzung zwei Winkel, die sich gegenüber stehen, die auch Scheitelwinkel genannt werden, genau gleich sind. Warum? Man nehme eine Geradenkreuzung mit a = 45° und b = 135°. Nach dem Nebenwinkelsatz muss c 180°-b=45° sein, was genau dem passenden Scheitelwinkel a passt.

Winkelsätze: mehrere Geraden

Es gibt auch Winkelsätze, die auf mehrere Geraden basieren. Man nehme sich drei Geraden und lässt zwei parallele Geraden in die andere verlaufen. Die folgenden Winkelsätze funktionieren nur, wenn diese beiden Geraden parallel zueinander sind.
Der Stufenwinkelsatz besagt, dass ein Winkel auf einer Geradenkreuzung und derselbe Winkel von der gleichen Sicht bei der anderen Geradenkreuzung (Stufenwinkel) gleich sind.
Der Wechselwinkelsatz besagt, dass der Scheitelwinkel des Stufenwinkels eines Winkels (Wechselwinkel) gleich groß wie dieser Winkel ist.

Polygone und deren Winkelsumme

Namen von Winkeln in Polygonen

In einem Polygon gibt es an den Ecken auch Winkel. Deren Schreibweise ist die: Zuerst schreibt man das Winkelzeichen. Dann kommt der Name der Ecke, an dem der Winkel liegt. Links und rechts dieser Ecke kommen die Ecken, die mit (links) und gegen (rechts) den Uhrzeigersinn direkt nach der Ecke in der Mitte kommen. Wie z.B. in einem Viereck, an der Ecke A, ist ein Winkel. Links und rechts von A ist B und D, also schreibt sich der Winkel so: Winkelzeichen BAD.

Innenwinkelsummen in Dreiecken

Angenommen, man hat ein Dreieck, die anstelle von Strecken Geraden enthalten. Somit erhält man auch mehr Außenwinkel als die drei überstumpfen Winkel beim Streckendreieck. Durch den Stufenwinkelsatz kann man die unteren Winkel nach oben als Außenwinkel verschieben. Der Scheitelwinkelsatz macht den oberen Winkel zum Außenwinkel.
Am Ende erhält man einen gestreckten Winkel aus den Innenwinkeln des Dreiecks. Somit ist bewiesen, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt. Dieser Innenwinkelsummensatz ist sehr wichtig für Dreiecksrätzel.

Innenwinkelsummen in Polygonen

Die Innenwinkelsummen in Polygonen lassen sich aus dem Innenwinkelsummensatz der Dreiecke ableiten.
Jedes Vieleck lässt sich nämlich in Dreiecke mit 180° pro Dreieck aufteilen. In Vierecken sind 2 Dreiecke, in Fünfecken 3, in Sechsecken 4 usw. In einem n-Eck sind somit n-2 viele Dreiecke enthalten.
Die Winkel, die Nebenwinkel haben, werden im Vieleck zusammengesetzt. Somit sind dann alle Winkel in den Dreiecken im Vieleck enthalten und die Innenwinkelsumme der Vielecke ist die Anzahl der Dreiecke mal die Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
Die Formel lautet also (n-2)*180°.

Quellen

1. chemie.de (über Google)