Mathematik: Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Polynomfunktionen 1. Grades. In diesem Artikel werden diese genauer beschrieben.

Definition einer linearen Funktion

Graphische Sicht

Eine lineare Funktion ist eine Zuordnung von unendlich viele x-Werten, auch Abszissen genannt, zu verschiedenen y-Werten, auch Ordinaten genannt. Diese unendlichen Punkte sind wie eine Gerade geformt.

Mathematische Sicht

Die Zuordnung einer linearen Funktion kann man mathematisch beschreiben. Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist:
y = mx + b
Hier die Bedeutung der Variablen:
x, y: Die Abszissen und Ordinaten
m: Die Steigung der Geraden
b: Die y-Koordinate des Schnittpunktes der linearen Funktion mit der y-Achse, somit auch y-Achsenabschnitt genannt

Zeichnen des Graphs einer linearen Funktion

Sei die Steigung m ein Bruch mit Zähler p und Nenner q (wenn m eine natürliche Zahl ist, dann ist q = 1)mit p und q sind natürliche Zahlen. Um eine Gerade zu zeichnen, braucht man zwei Punkte. Diese werden mit m und b bestimmt:

1. Zuerst legt man den Punkt (0|b) als ersten Punkt fest.
2. Danach geht man q Einheiten in x-Richtung und p Einheiten in y-Richtung. Diesen Punkt lege man als zweiten Punkt fest.
3. Zuletzt verbinde man diese beiden Punkte.

Lineare Funktionen, die parallel zu den Koordinatenachsen sind

Verschobene x-Achsen

Bei solchen linearen Funktionen gilt m = 0. Bsp.: y = 3 (y = 0x + 3)

Verschobene y-Achsen

ACHTUNG! Solche Geraden sind keine Funktionen, da zu einem x-Wert unendlich y-Werte zugeordnet werden, was zum Widerspruch der Definition einer linearen Funktion führt!
Die Funktionsgleichung einer solchen Geraden lautet z. B. x = 5.

Nullstellen einer linearen Funktion

Definition einer Nullstelle

Eine Nullstelle ist der Schnittpunkt einer Funktion y = mx + b mit der x-Achse y = 0.

Nullstellen einer Funktion y = mx + b

Nach Definition einer Nullstelle ist die y-Koordinate 0. Also setzt man in y = mx + b 0 für y ein, sodass sich die x-Koordinate durch Äquivalenzumformungen herausfinden lässt.