Mathematik: Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt, auch als göttliche Proportion oder φ (Phi) bekannt, ist ein mathematisches Verhältnis, das in der Kunst, Architektur, Natur und viel in der Mathematik vorkommt. Es beschreibt ein harmonisches Verhältnis zwischen zwei Größen, bei dem das Verhältnis der größeren zur kleineren Größe gleich dem Verhältnis der Summe der beiden Größen zur größeren Größe ist.

Grundlegendes

Mathematische Definition

Der Goldene Schnitt ist definiert durch die Gleichung:

(a + b) / a = a / b = φ

Hierbei ist a die größere und b die kleinere Größe. Der Wert von φ beträgt ungefähr 1,6180339887.

Genauer Wert von φ

φ ist ein Ergebnis einer quadratischen Gleichung, die sich durch folgendes ergibt:

(a + b) / a = a / b | T
  1 + b / a = a / b | a/b = φ
  1 + 1 / φ = φ     | ⋅ φ
      φ + 1 = φ²    | - φ - 1
 φ² - φ - 1 = 0

Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn p, q = -1:

φ² - φ - 1 = 0
         φ = -(-1/2) ± sqrt((-1/2)² - (-1) | T
         φ = 1/2 ± sqrt(1/4 + 1)           | T
         φ = 1/2 ± sqrt(5/4)               | T
         φ = 1/2 ± sqrt(5)/2               | T
         φ = (1 ± sqrt(5))/2

Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ₁ und eine negative Lösung φ₂. Da φ ein Verhältnis ist, ist φ1 = φ. Da die negative Lösung auch Eigenschaften hat, wird es auch mit einem speziellen Buchstaben versehen, nämlich ψ (Psi).

Eigenschaften

Aus dem genauen Ermitteln von φ kann man sehr faszinierende Eigenschaften von dieser Zahl herausnehmen. Eine Eigenschaft ist: φ² und 1/φ haben genau dieselben Nachkommastellen wie φ selbst, da φ² = φ + 1 und 1 + 1 / φ = φ gilt.

Geschichte

Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.

Anwendungen

Diese Anwendungen vom goldenen Schnitt sind nicht genau φ, sondern nur 1,6.

• Kunst: Viele berühmte Künstler, darunter Leonardo da Vinci und Salvador Dalí, haben den Goldenen Schnitt in ihren Gemälden verwendet.
• Architektur: Der Parthenon in Athen ist ein bekanntes Beispiel für die Anwendung des Goldenen Schnitts in der Architektur.
• Natur: Der Goldene Schnitt findet sich auch in der Natur, beispielsweise in der Anordnung von Blütenblättern oder der Spiralen von Muscheln.

Dies sind reale Vorkommnisse:

• Fibonacci-Folge: Der Multiplikator eines Folgengliedes, sodass das nächste Folgenglied entsteht, konvergiert gegen φ.
• Regelmäßiges Fünfeck: Die Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge 1 ist φ.
• Irrationalität: φ ist die irrationalste Zahl in den reellen Zahlen, das heißt man kann am schlechtesten einen rationalen Näherungswert für φ finden.

φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge

Definition der Fibonacci- und Lukas-Folge

Die Fibonacci-Folge ist definiert durch die Folgenvorschrift Fn+1 = Fn + Fn-1. Sie fängt an mit F1 = 0 und F2 = 1.
Die ersten Folgenglieder von F_n lauten: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
Die Lukas-Folge ist genauso definiert wie die Fibonacci-Folge, es wird mit L_n bezeichnet. Der Unterschied zwischen den beiden Folgen ist, dass die Lukas-Folge mit F1 = 2 und F2 = 1 anfängt. Die ersten Folgenglieder von L_n lauten: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 88

Fazit

Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.